関数 $f(x) = \log(1+x^2)$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ の $x=0$ における値 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1+x^2)$ の $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ の $x=0$ における値 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = \log(1+x^2)$ をマクローリン展開することを考える。

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は、

$$\log(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$

である。したがって、$\log(1+x^2)$ のマクローリン展開は、

$$\log(1+x^2) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{(x^2)^k}{k} = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{x^{2k}}{k} = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \cdots$$

となる。マクローリン展開は、

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

と表されるので、$f^{(n)}(0)$ を求めるためには、マクローリン展開の $x^n$ の係数を見れば良い。

$n$ が奇数のとき、$x^n$ の項は存在しないので、$f^{(n)}(0) = 0$ である。

$n = 2k$ ($k$ は自然数)のとき、$\log(1+x^2)$ のマクローリン展開の $x^{2k}$ の係数は $(-1)^{k-1} \frac{1}{k}$ なので、

$$\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!} = (-1)^{k-1} \frac{1}{k}$$

したがって、

$$f^{(2k)}(0) = (-1)^{k-1} \frac{(2k)!}{k}$$

となる。

3. 最終的な答え

$$f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0 & (n \text{ が奇数のとき}) \\ (-1)^{\frac{n}{2}-1} \frac{n!}{\frac{n}{2}} & (n \text{ が偶数のとき}) \end{cases}$$