問題2は、以下の関数 $f(x)$ について、逆関数 $f^{-1}(x)$ の導関数 $(f^{-1})'(x)$ を求める問題です。 a) $f(x) = x^2$ (ただし $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$) b) $f(x) = \ln x$ 問題3は、以下の極限値を求める問題です。 a) $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}$ b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

問題2は、以下の関数 $f(x)$ について、逆関数 $f^{-1}(x)$ の導関数 $(f^{-1})'(x)$ を求める問題です。

a) $f(x) = x^2$ (ただし $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$)

b) $f(x) = \ln x$

問題3は、以下の極限値を求める問題です。

a) $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}$

b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

2. 解き方の手順

問題2:

逆関数の微分公式 $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ を用います。

a) $f(x) = x^2$ の場合:

まず、$f'(x) = 2x$ です。次に、$y = x^2$ とおくと、$x = \sqrt{y}$ （$x>0$ なので）となり、$f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ です。したがって、

$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{2\sqrt{x^2}} = \frac{1}{2x}$

ここで、$y$ を $x$ に書き換えると、

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

b) $f(x) = \ln x$ の場合:

まず、$f'(x) = \frac{1}{x}$ です。次に、$y = \ln x$ とおくと、$x = e^y$ となり、$f^{-1}(y) = e^y$ です。したがって、

$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{\frac{1}{e^y}} = e^y$

ここで、$y$ を $x$ に書き換えると、

$(f^{-1})'(x) = e^x$

問題3:

a) $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}$ の場合:

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$

b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ の場合:

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$

これはまだ $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

3. 最終的な答え

問題2:

a) $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

b) $(f^{-1})'(x) = e^x$

問題3:

a) $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1$

b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$