与えられた微分方程式に対して、大括弧内に示された関数がその一般解であるかどうかを判断する問題です。具体的には、以下の微分方程式と関数の組み合わせについて検証します。 (a) $y' = y, [y = Ce^{3x}]$ (b) $y' = 3y, [y = Ce^{3x}]$ (c) $y' = 3y, [y = e^{3x}]$ (d) $y'' = 2y' - y, [y = Ce^x + Cxe^x]$ (e) $y'' = -y, [y = A \cos x + B \sin x]$ (f) $y'' = -y, [y = A \cos x + 5A \sin x]$ (g) $xy' = -y, [xy = A]$ (h) $y' = xy, [y = Ae^{x^2/3}]$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式に対して、大括弧内に示された関数がその一般解であるかどうかを判断する問題です。具体的には、以下の微分方程式と関数の組み合わせについて検証します。

(a) $y' = y, [y = Ce^{3x}]$

(b) $y' = 3y, [y = Ce^{3x}]$

(c) $y' = 3y, [y = e^{3x}]$

(d) $y'' = 2y' - y, [y = Ce^x + Cxe^x]$

(e) $y'' = -y, [y = A \cos x + B \sin x]$

(f) $y'' = -y, [y = A \cos x + 5A \sin x]$

(g) $xy' = -y, [xy = A]$

(h) $y' = xy, [y = Ae^{x^2/3}]$

2. 解き方の手順

それぞれの方程式について、与えられた関数を微分し、微分方程式に代入して、方程式が成り立つかどうかを確認します。

(a) $y = Ce^{3x}$ から $y' = 3Ce^{3x}$。微分方程式 $y' = y$ に代入すると、$3Ce^{3x} = Ce^{3x}$ となり、これは一般には成り立ちません。

(b) $y = Ce^{3x}$ から $y' = 3Ce^{3x}$。微分方程式 $y' = 3y$ に代入すると、$3Ce^{3x} = 3Ce^{3x}$ となり、これは常に成り立ちます。

(c) $y = e^{3x}$ から $y' = 3e^{3x}$。微分方程式 $y' = 3y$ に代入すると、$3e^{3x} = 3e^{3x}$ となり、これは常に成り立ちますが、$y=e^{3x}$は一般解ではありません。（任意定数Cが含まれていません。）

(d) $y = Ce^x + Cxe^x$ から $y' = Ce^x + Ce^x + Cxe^x = 2Ce^x + Cxe^x$ 、 $y'' = 2Ce^x + Ce^x + Cxe^x = 3Ce^x + Cxe^x$。微分方程式 $y'' = 2y' - y$ に代入すると、$3Ce^x + Cxe^x = 2(2Ce^x + Cxe^x) - (Ce^x + Cxe^x)$。整理すると、$3Ce^x + Cxe^x = 4Ce^x + 2Cxe^x - Ce^x - Cxe^x = 3Ce^x + Cxe^x$ となり、これは常に成り立ちます。

(e) $y = A \cos x + B \sin x$ から $y' = -A \sin x + B \cos x$ 、 $y'' = -A \cos x - B \sin x$。微分方程式 $y'' = -y$ に代入すると、$-A \cos x - B \sin x = -(A \cos x + B \sin x)$となり、これは常に成り立ちます。

(f) $y = A \cos x + 5A \sin x$ から $y' = -A \sin x + 5A \cos x$ 、 $y'' = -A \cos x - 5A \sin x$。微分方程式 $y'' = -y$ に代入すると、$-A \cos x - 5A \sin x = -(A \cos x + 5A \sin x)$となり、これは常に成り立ちます。

(g) $xy = A$ から $y = \frac{A}{x}$。$y' = -\frac{A}{x^2}$。微分方程式 $xy' = -y$ に代入すると、$x(-\frac{A}{x^2}) = -\frac{A}{x}$ 、 $-\frac{A}{x} = -\frac{A}{x}$ となり、これは常に成り立ちます。

(h) $y = Ae^{x^2/3}$ から $y' = Ae^{x^2/3} \cdot \frac{2x}{3} = \frac{2x}{3}Ae^{x^2/3}$。微分方程式 $y' = xy$ に代入すると、$\frac{2x}{3}Ae^{x^2/3} = xAe^{x^2/3}$ となり、これは一般には成り立ちません。

3. 最終的な答え

微分方程式の一般解となっているのは、以下の組み合わせです。

(b)

(d)

(e)

(f)

(g)