与えられた関数 $f(x)$ を $x^n$ の形に変形し、定理 7.3 (おそらく $x^n$ の微分公式) を用いて微分する問題です。以下の4つの関数について計算を行います。 (1) $f(x) = x^2 x^5$ (2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ (3) $f(x) = x^2 \sqrt{x}$ (4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を $x^n$ の形に変形し、定理 7.3 (おそらく $x^n$ の微分公式) を用いて微分する問題です。以下の4つの関数について計算を行います。

(1) $f(x) = x^2 x^5$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{x}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

定理 7.3 は $x^n$ の微分公式、つまり $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ であると仮定します。

(1) $f(x) = x^2 x^5$ の場合:

まず、$x^2 x^5 = x^{2+5} = x^7$ と変形します。

次に、微分を行います。

$\frac{d}{dx} x^7 = 7x^{7-1} = 7x^6$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の場合:

まず、$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ と変形します。

次に、微分を行います。

$\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{x}$ の場合:

まず、$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であるから、$x^2 \sqrt{x} = x^2 x^{\frac{1}{2}} = x^{2+\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$ と変形します。

次に、微分を行います。

$\frac{d}{dx} x^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ の場合:

まず、$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$ と変形します。

次に、微分を行います。

$\frac{d}{dx} x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 7x^6$

(2) $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$

(3) $f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$

(4) $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$