次の3つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{x^2} dx$ (2) $\int \sqrt{x} dx$ (3) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx$

(2) $\int \sqrt{x} dx$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx$ の計算

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ なので、不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）を利用します。

$n = -2$ なので、

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

(2) $\int \sqrt{x} dx$ の計算

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）を利用します。

$n = \frac{1}{2}$ なので、

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ の計算

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ なので、不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）を利用します。

$n = -\frac{1}{2}$ なので、

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$

(2) $\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C$