次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x - 1} dx = \int \frac{(\sin Ax - B)'}{\sin^2 x - 1} dx = C |\sin^2 x - 1| + C$ A, B, Cに当てはまる数字を求める。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x - 1} dx = \int \frac{(\sin Ax - B)'}{\sin^2 x - 1} dx = C |\sin^2 x - 1| + C$

A, B, Cに当てはまる数字を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ であることを利用する。

$\sin^2 x - 1 = - \cos^2 x$ であるから、

$\frac{\sin 2x}{\sin^2 x - 1} = \frac{2 \sin x \cos x}{-\cos^2 x} = -2 \frac{\sin x}{\cos x} = -2 \tan x$

積分すると

$\int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x - 1} dx = \int -2 \tan x dx = 2 \int \frac{-\sin x}{\cos x} dx$

ここで、$\cos x = t$ と置換すると、$-\sin x dx = dt$ となるから、

$2 \int \frac{-\sin x}{\cos x} dx = 2 \int \frac{1}{t} dt = 2 \log |t| + C = 2 \log |\cos x| + C$

対数の性質より、

$2 \log |\cos x| = \log (\cos^2 x) = \log |\cos^2 x|$

$\sin^2 x - 1 = - \cos^2 x$ より、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ となるから、$\cos^2 x = -(\sin^2 x - 1)$。

$2 \log |\cos x| = \log (\cos^2 x) = \log | -(\sin^2 x - 1)| = \log |\sin^2 x - 1|$

したがって、$\int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x - 1} dx = \log |\sin^2 x - 1| + C$

与えられた式と比較すると、

$\int \frac{(\sin Ax - B)'}{\sin^2 x - 1} dx = \log |\sin^2 x - 1| + C$

$(\sin Ax - B)' = A \cos Ax$ である。

また、$\frac{\sin 2x}{\sin^2 x - 1} = \frac{(\sin^2 x)'}{\sin^2 x - 1}$ という関係が成り立つ。

すると、$A=2$, $B=0$, $C=1$ となる。

3. 最終的な答え

A = 2

B = 0

C = 1