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$\int \tan x dx = - \int \frac{(A)'}{A} dx = -\log |A| + C$ となる $A$ を求めよ。

解析学積分三角関数不定積分
2025/6/9

1. 問題の内容

∫tan⁡xdx=−∫(A)′Adx=−log⁡∣A∣+C\int \tan x dx = - \int \frac{(A)'}{A} dx = -\log |A| + C となる AA を求めよ。

2. 解き方の手順

tan⁡x\tan x を sin⁡x\sin x と cos⁡x\cos x で表すと、
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} となる。
従って、∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx である。
ここで、A=cos⁡xA = \cos x とおくと、A′=(cos⁡x)′=−sin⁡xA' = (\cos x)' = - \sin x となる。
よって、∫sin⁡xcos⁡xdx=−∫−sin⁡xcos⁡xdx=−∫(cos⁡x)′cos⁡xdx\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{- \sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx となる。
したがって、A=cos⁡xA = \cos x であるから、
∫tan⁡xdx=−∫A′Adx=−log⁡∣A∣+C=−log⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x dx = - \int \frac{A'}{A} dx = - \log |A| + C = - \log |\cos x| + C となる。

3. 最終的な答え

cos⁡x\cos x

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