曲線 $C: y = x^2 - 2x - 3$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線 $l_1$ と、点 $(5, 12)$ における接線 $l_2$ を考える。 (1) $l_1$ と $l_2$ の方程式をそれぞれ求めよ。 (2) 曲線 $C$ と $l_1$, $l_2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^2 - 2x - 3$ 上の点 $(-1, 0)$ における接線 $l_1$ と、点 $(5, 12)$ における接線 $l_2$ を考える。

(1) $l_1$ と $l_2$ の方程式をそれぞれ求めよ。

(2) 曲線 $C$ と $l_1$, $l_2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、曲線 $C$ の導関数を求める。

$y' = 2x - 2$

点 $(-1, 0)$ における接線 $l_1$ の傾きは、

$y'(-1) = 2(-1) - 2 = -4$

よって、$l_1$ の方程式は、

$y - 0 = -4(x - (-1))$

$y = -4x - 4$

点 $(5, 12)$ における接線 $l_2$ の傾きは、

$y'(5) = 2(5) - 2 = 8$

よって、$l_2$ の方程式は、

$y - 12 = 8(x - 5)$

$y = 8x - 40 + 12$

$y = 8x - 28$

(2)

まず、$l_1$ と $l_2$ の交点を求める。

$-4x - 4 = 8x - 28$

$12x = 24$

$x = 2$

$y = -4(2) - 4 = -12$

交点は $(2, -12)$

$C$ と $l_1$ の交点は $(-1, 0)$ と、

$x^2 - 2x - 3 = -4x - 4$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$ (重解)

$C$ と $l_2$ の交点は $(5, 12)$ と、

$x^2 - 2x - 3 = 8x - 28$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x - 5)^2 = 0$

$x = 5$ (重解)

求める面積は、

$\int_{-1}^{2} \{(x^2 - 2x - 3) - (-4x - 4)\} dx + \int_{2}^{5} \{(x^2 - 2x - 3) - (8x - 28)\} dx$

$= \int_{-1}^{2} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{2}^{5} (x^2 - 10x + 25) dx$

$= \int_{-1}^{2} (x+1)^2 dx + \int_{2}^{5} (x-5)^2 dx$

$= [\frac{1}{3}(x+1)^3]_{-1}^{2} + [\frac{1}{3}(x-5)^3]_{2}^{5}$

$= \frac{1}{3}(3^3 - 0^3) + \frac{1}{3}(0^3 - (-3)^3)$

$= \frac{1}{3}(27) + \frac{1}{3}(27)$

$= 9 + 9 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $l_1: y = -4x - 4$, $l_2: y = 8x - 28$

(2) 18