与えられた定積分の値を求める問題です。 $$ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2-4x+3} $$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求める問題です。

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\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2-4x+3}

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2. 解き方の手順

まず、積分対象の関数を部分分数分解します。

分母は $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ と因数分解できます。

したがって、

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\frac{1}{x^2 - 4x + 3} = \frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}

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とおきます。両辺に $(x-1)(x-3)$ を掛けると、

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1 = A(x-3) + B(x-1)

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となります。

$x=1$ を代入すると、 $1 = A(1-3) + B(1-1) \Rightarrow 1 = -2A \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$

$x=3$ を代入すると、 $1 = A(3-3) + B(3-1) \Rightarrow 1 = 2B \Rightarrow B = \frac{1}{2}$

したがって、

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\frac{1}{x^2 - 4x + 3} = -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}

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となります。

次に、積分を計算します。

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\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2 - 4x + 3} = \int_{-1}^{0} \left(-\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}\right) dx

= -\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} \frac{1}{x-3} dx

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= -\frac{1}{2} [\ln|x-1|]_{-1}^{0} + \frac{1}{2} [\ln|x-3|]_{-1}^{0}

= -\frac{1}{2} (\ln|-1| - \ln|-2|) + \frac{1}{2} (\ln|-3| - \ln|-4|)

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= -\frac{1}{2} (\ln 1 - \ln 2) + \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 4)

= -\frac{1}{2} (0 - \ln 2) + \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 4)

= \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{1}{2} \ln 4

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= \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{1}{2} \ln 2^2

= \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{1}{2} (2 \ln 2)

= \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 3 - \ln 2

= \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{1}{2} \ln 2

= \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 2)

= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$