(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$, $f'(0) = 3$ のもとで解く。 (2) 積分 $\int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$, $f'(0) = 3$ のもとで解く。

(2) 積分 $\int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、特性方程式を立てます。

$r^2 = 6r - 11$

$r^2 - 6r + 11 = 0$

解の公式より、

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = 3 \pm \sqrt{2}i$

よって、一般解は

$f(x) = e^{3x}(c_1 \cos(\sqrt{2}x) + c_2 \sin(\sqrt{2}x))$

次に、初期条件を適用します。

$f(0) = e^{0}(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 5$

$f'(x) = 3e^{3x}(c_1 \cos(\sqrt{2}x) + c_2 \sin(\sqrt{2}x)) + e^{3x}(-c_1\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x) + c_2\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x))$

$f'(0) = 3(c_1) + c_2\sqrt{2} = 3$

$3(5) + c_2\sqrt{2} = 3$

$c_2\sqrt{2} = -12$

$c_2 = -\frac{12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2}$

したがって、

$f(x) = e^{3x}(5 \cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x))$

(2)

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^3 - x^2 + 3x - 3 = x^2(x-1) + 3(x-1) = (x^2 + 3)(x-1)$

$\frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} = \frac{4x^4}{(x^2+3)(x-1)}$

分子の次数が分母の次数よりも大きいので、割り算を行います。

$4x^4 = 4x(x^3 - x^2 + 3x - 3) + 4x^3 - 12x^2 + 12x$

$4x^3 - 12x^2 + 12x = 4(x^3 - x^2 + 3x - 3) - 8x^2 + 0x + 12$

よって、

$\frac{4x^4}{(x^2+3)(x-1)} = 4x + 4 + \frac{-8x^2+12}{(x^2+3)(x-1)} = 4x + 4 + \frac{Ax+B}{x^2+3} + \frac{C}{x-1}$

$-8x^2 + 12 = (Ax+B)(x-1) + C(x^2+3)$

$-8x^2 + 12 = Ax^2 -Ax + Bx - B + Cx^2 + 3C$

$-8x^2 + 0x + 12 = (A+C)x^2 + (-A+B)x + (-B+3C)$

$A+C = -8$

$-A+B = 0$

$-B+3C = 12$

$A = B$

$-A + 3C = 12$

$A+C = -8$

$4C = 4$

$C = 1$

$A = -9$

$B = -9$

$\frac{-8x^2+12}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{-9x-9}{x^2+3} + \frac{1}{x-1}$

$\int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx = \int (4x+4 + \frac{-9x-9}{x^2+3} + \frac{1}{x-1}) dx$

$= 2x^2 + 4x - \frac{9}{2} \int \frac{2x}{x^2+3} dx - 9 \int \frac{1}{x^2+3} dx + \int \frac{1}{x-1} dx$

$= 2x^2 + 4x - \frac{9}{2} \ln(x^2+3) - 9 \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + \ln|x-1| + C$

$= 2x^2 + 4x - \frac{9}{2} \ln(x^2+3) - 3\sqrt{3} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + \ln|x-1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{3x}(5 \cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x))$

(2) $2x^2 + 4x - \frac{9}{2} \ln(x^2+3) - 3\sqrt{3} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + \ln|x-1| + C$