不定積分 $\int \sin(6x) \sin(2x) dx$ を求め、与えられた形式 $\frac{A}{B} \int (CD - EF) dx = \frac{1}{8} GH - \frac{1}{16} IJ + C$ に当てはまるように、A, B, C, D, E, F, G, H, I, J を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sin(6x) \sin(2x) dx$ を求め、与えられた形式

$\frac{A}{B} \int (CD - EF) dx = \frac{1}{8} GH - \frac{1}{16} IJ + C$

に当てはまるように、A, B, C, D, E, F, G, H, I, J を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積和の公式を利用して $\sin(6x) \sin(2x)$ を変形します。

積和の公式は以下の通りです。

$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$

これを用いると、

$\sin(6x) \sin(2x) = \frac{1}{2} [\cos(6x - 2x) - \cos(6x + 2x)] = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(8x)]$

したがって、

$\int \sin(6x) \sin(2x) dx = \int \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(8x)] dx = \frac{1}{2} \int (\cos(4x) - \cos(8x)) dx$

なので、

$A = 1, B = 2, C = \cos, D = 4x, E = \cos, F = 8x$

となります。

次に、積分を実行します。

$\frac{1}{2} \int (\cos(4x) - \cos(8x)) dx = \frac{1}{2} [\frac{1}{4} \sin(4x) - \frac{1}{8} \sin(8x)] + C = \frac{1}{8} \sin(4x) - \frac{1}{16} \sin(8x) + C$

したがって、

$G = \sin, H = 4x, I = \sin, J = 8x$

となります。

3. 最終的な答え

A = 1

B = 2

C = cos

D = 4x

E = cos

F = 8x

G = sin

H = 4x

I = sin

J = 8x