次の関数を微分せよ。 (4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t-1}{t+1}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t-1}{t+1}$

2. 解き方の手順

与えられた関数 $s$ を $t$ で微分します。

まず、それぞれの項を個別に微分します。

第1項 $\frac{2}{t^3}$ の微分は、

$\frac{d}{dt} \left( \frac{2}{t^3} \right) = \frac{d}{dt} \left( 2t^{-3} \right) = 2(-3)t^{-4} = -\frac{6}{t^4}$

第2項 $\frac{2t-1}{t+1}$ の微分は、商の微分公式 $\frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = 2t-1$ と $v = t+1$ とすると、 $u' = 2$ と $v' = 1$ なので、

$\frac{d}{dt} \left( \frac{2t-1}{t+1} \right) = \frac{2(t+1) - (2t-1)(1)}{(t+1)^2} = \frac{2t+2 - 2t + 1}{(t+1)^2} = \frac{3}{(t+1)^2}$

したがって、

$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2}{t^3} + \frac{2t-1}{t+1} \right) = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t+1)^2}$

通分してまとめます。

$\frac{ds}{dt} = \frac{-6(t+1)^2 + 3t^4}{t^4(t+1)^2} = \frac{-6(t^2 + 2t + 1) + 3t^4}{t^4(t+1)^2} = \frac{-6t^2 - 12t - 6 + 3t^4}{t^4(t+1)^2} = \frac{3t^4 - 6t^2 - 12t - 6}{t^4(t+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{ds}{dt} = \frac{3t^4 - 6t^2 - 12t - 6}{t^4(t+1)^2}$

あるいは

$\frac{ds}{dt} = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t+1)^2}$