以下の4つの関数の導関数を求めます。 a) $f(x) = x^x$ のとき、$f'(x)$ を求めます。 b) $f(x) = \frac{x(x-1)^2}{\sqrt{x+1}}$ のとき、$f'(x)$ を求めます。 c) $f(x) = \ln x (2x+3)^5$ のとき、$f^{(3)}(x)$ を求めます。（3階導関数） d) $f(x) = e^x x^3$ のとき、$f^{(3)}(x)$ を求めます。（3階導関数） ヒントとして、a, b は対数微分法を用い、c, d はライプニッツの微分公式を用いるように指示されています。

1. 問題の内容

以下の4つの関数の導関数を求めます。

a) $f(x) = x^x$ のとき、$f'(x)$ を求めます。

b) $f(x) = \frac{x(x-1)^2}{\sqrt{x+1}}$ のとき、$f'(x)$ を求めます。

c) $f(x) = \ln x (2x+3)^5$ のとき、$f^{(3)}(x)$ を求めます。（3階導関数）

d) $f(x) = e^x x^3$ のとき、$f^{(3)}(x)$ を求めます。（3階導関数）

ヒントとして、a, b は対数微分法を用い、c, d はライプニッツの微分公式を用いるように指示されています。

2. 解き方の手順

a) 対数微分法を用います。

$y = x^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

よって、$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

b) 対数微分法を用います。

$y = \frac{x(x-1)^2}{\sqrt{x+1}}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left( \frac{x(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} \right) = \ln x + 2 \ln (x-1) - \frac{1}{2} \ln (x+1)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x+1)} \right) = \frac{x(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x+1)} \right)$

$f'(x) = \frac{x(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} - \frac{1}{2(x+1)} \right) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x+1}} + \frac{2x(x-1)}{\sqrt{x+1}} - \frac{x(x-1)^2}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

$= \frac{2(x-1)^2(x+1) + 4x(x-1)(x+1) - x(x-1)^2}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{(x-1)(2(x-1)(x+1) + 4x(x+1) - x(x-1))}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

$= \frac{(x-1)(2(x^2-1) + 4x^2+4x - x^2+x)}{2(x+1)\sqrt{x+1}} = \frac{(x-1)(5x^2+5x-2)}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

c) $f(x) = \ln x (2x+3)^5$

$f'(x) = \frac{1}{x} (2x+3)^5 + \ln x \cdot 5(2x+3)^4 \cdot 2 = \frac{(2x+3)^5}{x} + 10 \ln x (2x+3)^4$

$f''(x) = \frac{5(2x+3)^4 \cdot 2 \cdot x - (2x+3)^5}{x^2} + 10 (\frac{1}{x} (2x+3)^4 + \ln x \cdot 4(2x+3)^3 \cdot 2)$

$= \frac{10x(2x+3)^4 - (2x+3)^5}{x^2} + \frac{10(2x+3)^4}{x} + 80 \ln x (2x+3)^3$

$= \frac{10x(2x+3)^4 - (2x+3)^5 + 10x(2x+3)^4}{x^2} + 80 \ln x (2x+3)^3 = \frac{20x(2x+3)^4 - (2x+3)^5}{x^2} + 80 \ln x (2x+3)^3$

$= \frac{(2x+3)^4(20x - (2x+3))}{x^2} + 80 \ln x (2x+3)^3 = \frac{(2x+3)^4(18x-3)}{x^2} + 80 \ln x (2x+3)^3$

$f^{(3)}(x) = \frac{4(2x+3)^3 \cdot 2 \cdot (18x-3)x^2 - (2x+3)^4(18x-3)2x}{x^4} + 80(\frac{1}{x} (2x+3)^3 + \ln x \cdot 3 (2x+3)^2 \cdot 2)$

$= \frac{8(2x+3)^3(18x-3)x^2 - 2x(2x+3)^4(18x-3)}{x^4} + \frac{80(2x+3)^3}{x} + 480 \ln x (2x+3)^2$

d) $f(x) = e^x x^3$

ライプニッツの公式を用いる。$f(x) = u(x) v(x)$ に対して、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)$

ここで、$u(x) = e^x$ , $v(x) = x^3$ とおく。

$u^{(k)}(x) = e^x$ for all $k$.

$v'(x) = 3x^2$, $v''(x) = 6x$, $v^{(3)}(x) = 6$, $v^{(k)}(x) = 0$ for $k > 3$

$f^{(3)}(x) = \binom{3}{0} e^x x^3 + \binom{3}{1} e^x 3x^2 + \binom{3}{2} e^x 6x + \binom{3}{3} e^x 6$

$= e^x x^3 + 3 e^x (3x^2) + 3 e^x (6x) + e^x (6) = e^x (x^3 + 9x^2 + 18x + 6)$

3. 最終的な答え

a) $f'(x) = x^x (\ln x + 1)$

b) $f'(x) = \frac{(x-1)(5x^2+5x-2)}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$

c) $f^{(3)}(x) = \frac{8(2x+3)^3(18x-3)x^2 - 2x(2x+3)^4(18x-3)}{x^4} + \frac{80(2x+3)^3}{x} + 480 \ln x (2x+3)^2$

d) $f^{(3)}(x) = e^x (x^3 + 9x^2 + 18x + 6)$