$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2-\cos^2x)\sin x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2-\cos^2x)\sin x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos x = t$ と置換すると、$-\sin x dx = dt$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$t = \cos 0 = 1$

$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、$t = \cos \frac{\pi}{2} = 0$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2-\cos^2x)\sin x dx = \int_{1}^{0}(2-t^2)(-dt) = \int_{0}^{1}(2-t^2)dt$

$\int_{0}^{1}(2-t^2)dt = [2t-\frac{1}{3}t^3]_{0}^{1} = (2(1)-\frac{1}{3}(1)^3) - (2(0)-\frac{1}{3}(0)^3) = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}$