次の不定積分を求める問題です。 $\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int \frac{x+A-B}{x+1} dx = \int (C - \frac{B}{x+1}) dx = D - E \log|x+F| + C$ A, B, C, D, E, F を求めます。

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int \frac{x+A-B}{x+1} dx = \int (C - \frac{B}{x+1}) dx = D - E \log|x+F| + C$

A, B, C, D, E, F を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身の式を変形します。

$\frac{x-2}{x+1} = \frac{(x+1) - 3}{x+1} = 1 - \frac{3}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int (1 - \frac{3}{x+1}) dx = x - 3\log|x+1| + C$

与えられた式と照らし合わせると、

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int \frac{x+A-B}{x+1} dx$ より、$x+A-B = x-2$となるようにAとBを定める。

$\frac{x+A-B}{x+1} = \frac{x-2}{x+1}$より、 $A-B = -2$。

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int (C - \frac{B}{x+1}) dx$ より、$C=1, B=3$がわかる。

この時、$A - B = -2$より、$A - 3 = -2$だから、$A = 1$となる。

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int (1 - \frac{3}{x+1}) dx = x - 3\log|x+1| + C$

これより、$D=x$、 $E=3$、$F=1$となる。$D$は変数なので$6$で置き換える。

3. 最終的な答え

A = 1

B = 3

C = 1

D = 6

E = 3

F = 1