定積分 $\int_{-1}^{0} x(x^2 - 1)^3 dx$ の値を求める問題です。変数変換 $x^2 - 1 = t$ を用いて計算を進めています。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{0} x(x^2 - 1)^3 dx$ の値を求める問題です。変数変換 $x^2 - 1 = t$ を用いて計算を進めています。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 1 = t$ と置換します。このとき、$2x dx = dt$ となり、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

次に、積分区間を変更します。

$x = -1$ のとき、$t = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

$x = 0$ のとき、$t = (0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$

したがって、積分区間は $0$ から $-1$ に変わります。

したがって、$A = 0$、$B = -1$ となります。

$\int_{-1}^{0} x(x^2 - 1)^3 dx = \int_{0}^{-1} t^3 (\frac{1}{2} dt) = \frac{1}{2} \int_{0}^{-1} t^3 dt$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{-1} t^3 dt = \frac{1}{2} [\frac{1}{4} t^4 ]_{0}^{-1} = \frac{1}{8} [t^4]_{0}^{-1} = \frac{1}{8} ( (-1)^4 - 0^4) = \frac{1}{8} (1 - 0) = \frac{1}{8}$

したがって、$C=1$、$D=8$、$E=1$、$F=8$

3. 最終的な答え

A: 0

B: -1

C: 1

D: 8

E: 1

F: 8