(1) 実数値関数 $y = f(x)$ に関する微分方程式 $f''(x) = 6f'(x) - 11f(x)$ を、初期条件 $f(0) = 5$ および $f'(0) = 3$ のもとで解く問題。 (2) 不定積分 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 実数値関数 $y = f(x)$ に関する微分方程式 $f''(x) = 6f'(x) - 11f(x)$ を、初期条件 $f(0) = 5$ および $f'(0) = 3$ のもとで解く問題。

(2) 不定積分 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、微分方程式 $f''(x) = 6f'(x) - 11f(x)$ の特性方程式を求める。これは、 $f''(x)$ を $\lambda^2$、$f'(x)$ を $\lambda$、$f(x)$ を $1$ で置き換えることで得られる。

$\lambda^2 - 6\lambda + 11 = 0$

この2次方程式の解を求める。

$\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-8}}{2} = 3 \pm i\sqrt{2}$

したがって、一般解は次の形で表される。

$f(x) = e^{3x}(C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x))$

次に、初期条件 $f(0) = 5$ を適用する。

$f(0) = e^{0}(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = C_1 = 5$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3e^{3x}(5 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x)) + e^{3x}(-5\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x) + C_2 \sqrt{2} \cos(\sqrt{2}x))$

$f'(x) = e^{3x}((15 + \sqrt{2}C_2)\cos(\sqrt{2}x) + (3C_2 - 5\sqrt{2})\sin(\sqrt{2}x))$

初期条件 $f'(0) = 3$ を適用する。

$f'(0) = (15 + \sqrt{2}C_2) = 3$

$\sqrt{2}C_2 = -12$

$C_2 = -6\sqrt{2}$

したがって、解は次のようになる。

$f(x) = e^{3x}(5\cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x))$

(2)

積分 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める。まず、分子を分母で割る。

$x^3 - x^2 + 3x - 3 = x^2(x-1) + 3(x-1) = (x^2 + 3)(x-1)$

$\frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} = \frac{4x^4}{(x^2+3)(x-1)}$

長除法を行うと、$4x^4 = (x^3 - x^2 + 3x - 3)(4x+4) + (-8x^2-24x+12)$.

よって$\frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} = 4x+4 + \frac{-8x^2-24x+12}{(x^2+3)(x-1)}$.

部分分数分解を行う。

$\frac{-8x^2-24x+12}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{x^2+3} + \frac{C}{x-1}$

$-8x^2-24x+12 = (Ax+B)(x-1) + C(x^2+3)$

$-8x^2-24x+12 = Ax^2 - Ax + Bx - B + Cx^2 + 3C$

$-8x^2-24x+12 = (A+C)x^2 + (-A+B)x + (-B+3C)$

$A+C = -8$

$-A+B = -24$

$-B+3C = 12$

$x=1$を代入。 $-8-24+12 = C(1+3)$なので、 $-20 = 4C$だから$C = -5$

$A-5=-8$なので$A=-3$

$3+B=-24$なので、$B=-27$

$-(-27)+3(-5)=27-15=12$

$\frac{-8x^2-24x+12}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{-3x-27}{x^2+3} + \frac{-5}{x-1}$

$I = \int (4x+4 - \frac{3x+27}{x^2+3} - \frac{5}{x-1}) dx = \int (4x+4 - \frac{3x}{x^2+3} - \frac{27}{x^2+3} - \frac{5}{x-1}) dx$

$I = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} \ln(x^2+3) - 27 \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) - 5\ln|x-1| + C$

$I = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} \ln(x^2+3) - 9\sqrt{3} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) - 5\ln|x-1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{3x}(5\cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x))$

(2) $I = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} \ln(x^2+3) - 9\sqrt{3} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) - 5\ln|x-1| + C$