与えられた微分方程式の中から、以下の問題を解いて一般解を求めます。 (m) $y' + \sin(\omega x)y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の中から、以下の問題を解いて一般解を求めます。

(m) $y' + \sin(\omega x)y = 0$

2. 解き方の手順

この微分方程式は1階線形微分方程式です。

$y' + p(x)y = 0$ の形をしています。ここで、$p(x) = \sin(\omega x)$です。

このタイプの微分方程式は変数分離法で解けます。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} + \sin(\omega x)y = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\sin(\omega x)y$

$\frac{1}{y}dy = -\sin(\omega x)dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{1}{y}dy = \int -\sin(\omega x)dx$

$\ln|y| = \frac{1}{\omega}\cos(\omega x) + C_1$

$|y| = e^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x) + C_1}$

$y = \pm e^{C_1}e^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)}$

$y = Ce^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)}$ (ここで、$C = \pm e^{C_1}$ は任意の定数)

3. 最終的な答え

$y = Ce^{\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)}$