定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$ の値を求める問題です。積分結果は $\left[ -\frac{A}{B} \right]_1^2 = \frac{C}{D}$ の形式で与えられ、$A, B, C, D$ に当てはまる値を求める必要があります。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$ の値を求める問題です。積分結果は $\left[ -\frac{A}{B} \right]_1^2 = \frac{C}{D}$ の形式で与えられ、$A, B, C, D$ に当てはまる値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{(x+1)^2} dx$ を計算します。

これは $\int (x+1)^{-2} dx$ と書き換えることができます。

$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ なので、

$\int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x+1} + C$

となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx = \left[ -\frac{1}{x+1} \right]_{1}^{2} = \left( -\frac{1}{2+1} \right) - \left( -\frac{1}{1+1} \right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$

したがって、

$\left[ -\frac{1}{x+1} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{A}{B} \right]_{1}^{2}$ より $A=1$, $B=x+1$となりますが、最終的な結果が $\frac{C}{D}$ の形式なので、$\frac{1}{6}$ と比較して $C=1$, $D=6$となります。

3. 最終的な答え

A = 1

B = x+1

C = 1

D = 6