定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{1+x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{1+x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$$

よって、積分は以下のようになります。

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int_{0}^{\sqrt{3}} \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = \int_{0}^{\sqrt{3}} 1 dx - \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$$

それぞれの積分を計算します。

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} 1 dx = \left[x\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}$$

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = \left[\arctan(x)\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(0) = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$$

したがって、

$$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{1+x^2} dx = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$