曲線 $y = x^3 - x$ と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求め、空欄 A から O を埋める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求め、空欄 A から O を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3 - x$ と $x$ 軸の交点を求めます。

$x^3 - x = 0$ を解くと、$x(x^2 - 1) = 0$ より、$x(x - 1)(x + 1) = 0$ となり、$x = -1, 0, 1$ を得ます。

回転体の体積は、積分を使って求めることができます。$x$ 軸回転体の体積 $V$ は、積分範囲を $a$ から $b$ として、$V = \pi \int_a^b y^2 dx$ で表されます。

今回は、$y = x^3 - x$ であり、積分区間は $-1$ から $0$ と $0$ から $1$ です。

しかし、$y^2$ は偶関数であるため、積分区間を $0$ から $1$ として計算し、それを 2 倍することで体積を求めることができます。

$V = \pi \int_{-1}^0 (x^3 - x)^2 dx + \pi \int_0^1 (x^3 - x)^2 dx$

$V = \pi \int_{-1}^0 (x^6 - 2x^4 + x^2) dx + \pi \int_0^1 (x^6 - 2x^4 + x^2) dx$

$y^2 = (x^3 - x)^2 = x^6 - 2x^4 + x^2$ であるので、

$V = 2 \pi \int_0^1 (x^6 - 2x^4 + x^2) dx$

よって、$A=\pi$, $B=-1$, $C=0$, $D=2$, $E=\pi$, $F=0$, $G=1$, $H=6$, $I=2$, $J=2$

$2 \pi \int_0^1 (x^6 - 2x^4 + x^2) dx = 2 \pi \left[\frac{1}{7}x^7 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1$

$= 2 \pi (\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}) = 2 \pi (\frac{15 - 42 + 35}{105}) = 2 \pi (\frac{8}{105}) = \frac{16}{105} \pi$

よって、$K=16$, $L=1$, $M=105$, $N=0$, $O=0$

$K/M = 16/105$

3. 最終的な答え

A: $\pi$

B: -1

C: 0

D: 2

E: $\pi$

F: 0

G: 1

H: 6

I: 2

J: 2

K: 16

L: 1

M: 105

N: 0

O: 0