曲線 $y=x^2-1$ と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求める問題です。積分を用いて体積を計算する過程が穴埋め形式で示されています。

1. 問題の内容

曲線 $y=x^2-1$ と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求める問題です。積分を用いて体積を計算する過程が穴埋め形式で示されています。

2. 解き方の手順

まず、回転体の体積を求める公式を確認します。関数 $y = f(x)$ を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ は、積分範囲を $a$ から $b$ とすると、以下の式で与えられます。

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$$

この問題では、$f(x) = x^2 - 1$ です。

次に、積分範囲を決定します。$y = x^2 - 1$ と x 軸の交点を求めます。

$x^2 - 1 = 0$ を解くと、$x = \pm 1$ となります。したがって、積分範囲は $-1$ から $1$ となります。

$f(x) = x^2 - 1$ を公式に代入すると、

$$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^2 dx$$

となります。したがって、

A = $\pi$

B = -1

C = 1

D = 2

被積分関数 $(x^2 - 1)^2$ は偶関数なので、

$$\int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^2 dx = 2 \int_{0}^{1} (x^2 - 1)^2 dx$$

と変形できます。したがって、

E = 1

F = 0

$(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$ なので、

$$2 \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx$$

となります。したがって、

G = $\int$

H = 4

I = 2

積分を実行します。

$$2 \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right) = 2 \left( \frac{3 - 10 + 15}{15} \right) = 2 \left( \frac{8}{15} \right) = \frac{16}{15}$$

したがって、

$$V = \frac{16}{15} \pi$$

となります。

J = 16

K = 1

L = 15

M = 空欄

3. 最終的な答え

A = $\pi$

B = -1

C = 1

D = 2

E = 1

F = 0

G = $\int$

H = 4

I = 2

J = 16

K = 1

L = 15

M = 空欄