曲線 $y = \frac{2}{x-1}$ と直線 $x=2$, $x=3$, および $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。積分計算の過程を穴埋め形式で解答する必要があります。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{2}{x-1}$ と直線 $x=2$, $x=3$, および $x$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。積分計算の過程を穴埋め形式で解答する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、面積 $S$ を積分で表します。積分範囲は $x=2$ から $x=3$ なので、積分は次のようになります。

$S = \int_{2}^{3} \frac{2}{x-1} dx$

ここで、$\frac{2}{x-1}$ の不定積分を求めます。$u = x-1$ と置換すると、$du = dx$ となり、

$\int \frac{2}{x-1} dx = \int \frac{2}{u} du = 2\int \frac{1}{u} du = 2 \log |u| + C = 2 \log |x-1| + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$S = \left[ 2 \log |x-1| \right]_{2}^{3}$

$= 2 \log |3-1| - 2 \log |2-1| = 2 \log 2 - 2 \log 1 = 2 \log 2 - 2 \times 0 = 2 \log 2$

問題文の表記に合わせて計算過程を記述すると、

$S = \int_{2}^{3} \frac{2}{x-1} dx = \left[ 2 \log(x-1) \right]_{2}^{3} = 2 \log(3-1) - 2 \log(2-1) = 2 \log 2 - 2 \log 1 = 2 \log 2$

3. 最終的な答え

A: 2

B: 3

C: 2

D: x-1

E: 2

F: 3

G: 2

H: 2