曲線 $y=e^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 V を求め、問題文の穴埋めをすること。

1. 問題の内容

曲線 $y=e^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 V を求め、問題文の穴埋めをすること。

2. 解き方の手順

回転体の体積の公式より、

$V = \pi \int_0^2 (e^x)^2 dx = \pi \int_0^2 e^{2x} dx$

$e^{2x}$ の積分は $\frac{1}{2}e^{2x}$ なので、

$V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} e^0 \right) = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$

したがって、

$V = \int_B^C A (e^{Dx}) dx = \frac{e^E - F}{G} \pi$

と対応させると、

$A = \pi$

$B = 0$

$C = 2$

$D = 2$

$E = 4$

$F = 1$

$G = 2$

3. 最終的な答え

A: $\pi$

B: $0$

C: $2$

D: $2$

E: $4$

F: $1$

G: $2$