与えられた無限級数の和を求めます。 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \log_e \left( 1 - \tan^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right) \right) $$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求めます。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \log_e \left( 1 - \tan^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right) \right)$$

2. 解き方の手順

まず、$\log$ の性質を使って、級数の和を積の形に変換します。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \log_e \left( 1 - \tan^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right) \right) = \log_e \left( \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \tan^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right) \right) \right)$$

ここで、$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x (1 - \tan^2 x)$ を用いて $1 - \tan^2 x = \frac{\cos(2x)}{\cos^2 x}$ と書き換えます。

$$\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \tan^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right) \right) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left( \frac{\theta}{2^{n-1}} \right)}{\cos^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right)}$$

この積を部分積として書き出すと、

$$\prod_{n=1}^{N} \frac{\cos \left( \frac{\theta}{2^{n-1}} \right)}{\cos^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right)} = \frac{\cos(\theta)}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{\cos(\theta/2)}{\cos^2(\theta/4)} \cdot \frac{\cos(\theta/4)}{\cos^2(\theta/8)} \cdots \frac{\cos(\theta/2^{N-1})}{\cos^2(\theta/2^N)}$$

$$= \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta/2^N)} \cdot \prod_{n=1}^{N} \frac{1}{\cos(\theta/2^n)}$$

$\sin(x) = 2 \sin(x/2) \cos(x/2)$ を繰り返し使うと、

$$\sin(\theta) = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2) = 2^2 \sin(\theta/4) \cos(\theta/4) \cos(\theta/2) = \cdots = 2^N \sin(\theta/2^N) \prod_{n=1}^N \cos(\theta/2^n)$$

$$\prod_{n=1}^N \cos(\theta/2^n) = \frac{\sin(\theta)}{2^N \sin(\theta/2^N)}$$

よって、

$$\prod_{n=1}^{N} \frac{\cos \left( \frac{\theta}{2^{n-1}} \right)}{\cos^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right)} = \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta/2^N)} \cdot \frac{2^N \sin(\theta/2^N)}{\sin(\theta)}$$

$N \to \infty$ のとき、 $\frac{\sin(\theta/2^N)}{\theta/2^N} \to 1$ より、 $2^N \sin(\theta/2^N) \to \theta$ であり、$\cos(\theta/2^N) \to 1$ となるため、

$$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left( \frac{\theta}{2^{n-1}} \right)}{\cos^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right)} = \frac{\cos(\theta) \cdot \theta}{\sin(\theta)} = \theta \cot(\theta)$$

したがって、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \log_e \left( 1 - \tan^2 \left( \frac{\theta}{2^n} \right) \right) = \log_e \left( \theta \cot(\theta) \right) = \log_e(\theta) + \log_e(\cot(\theta))$$

3. 最終的な答え

$$\log(\theta \cot(\theta))$$

または

$$\log(\theta) + \log(\cot(\theta))$$

(ただし、$\log$ は自然対数)