与えられた定積分の値を求めます。 $\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。

$\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$

2. 解き方の手順

与えられた積分は、逆三角関数を使って計算できます。

具体的には、$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ という公式を利用します。

この問題では、$a^2 = 16$ より、$a = 4$ です。

したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \left[ \arcsin\left(\frac{x}{4}\right) \right]_{0}^{2}$

定積分を計算します。

$\arcsin\left(\frac{2}{4}\right) - \arcsin\left(\frac{0}{4}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin(0)$

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin(0) = 0$ です。

したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$