関数 $f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0, 1] \times [0, 1] - \{(0, 0)\}$ が与えられています。 (1) $A_n = \{(x, y) \in A \mid y \ge \frac{1}{n}\}$ と定義し、$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ に対して、広義重積分 $\iint_{A_n} f_+(x, y) \, dx \, dy$ の値を求めます。 (2) (1) と同じ $A_n$ に対して、$f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ に対して、広義重積分 $\iint_{A_n} f_-(x, y) \, dx \, dy$ の値を求めます。 (3) 広義重積分 $\iint_A f(x, y) \, dx \, dy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0, 1] \times [0, 1] - \{(0, 0)\}$ が与えられています。

(1) $A_n = \{(x, y) \in A \mid y \ge \frac{1}{n}\}$ と定義し、$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ に対して、広義重積分 $\iint_{A_n} f_+(x, y) \, dx \, dy$ の値を求めます。

(2) (1) と同じ $A_n$ に対して、$f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ に対して、広義重積分 $\iint_{A_n} f_-(x, y) \, dx \, dy$ の値を求めます。

(3) 広義重積分 $\iint_A f(x, y) \, dx \, dy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f_+(x, y)$ の積分を求める。

極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用いると、$f(x, y) = \frac{r^2 (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)}{r^4} = \frac{-\cos 2\theta}{r^2}$ となります。

$A_n$ は $y \ge \frac{1}{n}$ より、$r \sin \theta \ge \frac{1}{n}$ なので、$r \ge \frac{1}{n \sin \theta}$ です。また、$x, y \in [0, 1]$ より、$\theta$ の範囲は $\theta \in [\arcsin(1/n), \pi - \arcsin(1/n)]$となります。

$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ なので、$f(x, y) > 0$ となる領域を考えます。

$\frac{-\cos 2\theta}{r^2} > 0 \Leftrightarrow \cos 2\theta < 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

したがって、

$\iint_{A_n} f_+(x, y) \, dx \, dy = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_{1/(n \sin \theta)}^{1/\sin \theta} \frac{-\cos 2\theta}{r^2} r \, dr \, d\theta = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (-\cos 2\theta) \int_{1/(n \sin \theta)}^{1/\sin \theta} \frac{1}{r} \, dr \, d\theta$

$= \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (-\cos 2\theta) [\ln r]_{1/(n \sin \theta)}^{1/\sin \theta} d\theta = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (-\cos 2\theta) [\ln (\frac{1}{\sin \theta}) - \ln (\frac{1}{n \sin \theta})] d\theta$

$= \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (-\cos 2\theta) \ln n \, d\theta = -\ln n \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \cos 2\theta \, d\theta = -\ln n [\frac{1}{2} \sin 2\theta]_{\pi/4}^{3\pi/4} = -\frac{\ln n}{2}(-1 - 1) = \ln n$.

(2) $f_-(x, y)$ の積分を求める。

$f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ なので、$f(x, y) < 0$ となる領域を考えます。

$\frac{-\cos 2\theta}{r^2} < 0 \Leftrightarrow \cos 2\theta > 0 \Leftrightarrow 0 < \theta < \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} < \theta < \pi$

$\iint_{A_n} f_-(x, y) \, dx \, dy = \iint_{A_n} \max\{0, -f(x, y)\} \, dx \, dy = \int_{\arcsin(1/n)}^{\pi/4} \int_{1/(n \sin \theta)}^{1/\sin \theta} \frac{\cos 2\theta}{r^2}rdrd\theta + \int_{3\pi/4}^{\pi - \arcsin(1/n)} \int_{1/(n \sin \theta)}^{1/\sin \theta} \frac{\cos 2\theta}{r^2}rdrd\theta = -ln(n)$.

(3) 広義積分 $\iint_A f(x, y) \, dx \, dy$ を求める。

$\iint_A f(x, y) \, dx \, dy = \lim_{n \to \infty} \iint_{A_n} f(x, y) \, dx \, dy = \lim_{n \to \infty} \iint_{A_n} f_+(x, y) \, dx \, dy + \iint_{A_n} f_-(x, y) \, dx \, dy = \lim_{n \to \infty} (\ln n - \ln n) = 0$.

3. 最終的な答え

(1) $\iint_{A_n} f_+(x, y) \, dx \, dy = \ln n$

(2) $\iint_{A_n} f_-(x, y) \, dx \, dy = -\ln n$

(3) $\iint_A f(x, y) \, dx \, dy = 0$