(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$ と $f'(0) = 3$ のもとで解く。 (2) $\int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$ と $f'(0) = 3$ のもとで解く。

(2) $\int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ の解法

まず、特性方程式を求める。特性方程式は

$r^2 - 6r + 11 = 0$

である。この方程式の解は

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-8}}{2} = 3 \pm i\sqrt{2}$

したがって、一般解は

$f(x) = e^{3x}(c_1 \cos(\sqrt{2}x) + c_2 \sin(\sqrt{2}x))$

となる。

次に、初期条件を用いる。$f(0) = 5$ より

$f(0) = e^0 (c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 5$

したがって、$c_1 = 5$ である。

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3e^{3x}(c_1 \cos(\sqrt{2}x) + c_2 \sin(\sqrt{2}x)) + e^{3x}(-c_1\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x) + c_2\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x))$

$f'(x) = e^{3x}((3c_1 + \sqrt{2}c_2)\cos(\sqrt{2}x) + (3c_2 - \sqrt{2}c_1)\sin(\sqrt{2}x))$

$f'(0) = 3$ より

$f'(0) = (3c_1 + \sqrt{2}c_2) = 3$

$3(5) + \sqrt{2}c_2 = 3$

$\sqrt{2}c_2 = -12$

$c_2 = -6\sqrt{2}$

したがって、解は

$f(x) = e^{3x}(5 \cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x))$

(2) 積分 $\int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ の解法

まず、分母を因数分解する。

$x^3 - x^2 + 3x - 3 = x^2(x-1) + 3(x-1) = (x^2+3)(x-1)$

次に、分子を分母で割る。

$4x^4 = (x^3 - x^2 + 3x - 3)(4x+4) + (-4x^2 - 8x + 12)$

したがって

$\frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} = 4x+4 + \frac{-4x^2 - 8x + 12}{(x^2+3)(x-1)}$

さらに、$\frac{-4x^2 - 8x + 12}{(x^2+3)(x-1)}$ を部分分数分解する。

$\frac{-4x^2 - 8x + 12}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{x^2+3} + \frac{C}{x-1}$

$-4x^2 - 8x + 12 = (Ax+B)(x-1) + C(x^2+3)$

$-4x^2 - 8x + 12 = Ax^2 - Ax + Bx - B + Cx^2 + 3C$

$-4x^2 - 8x + 12 = (A+C)x^2 + (-A+B)x + (-B+3C)$

$A+C = -4$, $-A+B = -8$, $-B+3C = 12$

$x=1$ を代入すると、 $-4 - 8 + 12 = 4C$, $4C=0$, $C=0$

$A = -4$, $B = -12$,

したがって

$\frac{-4x^2 - 8x + 12}{(x^2+3)(x-1)} = \frac{-4x-12}{x^2+3} = \frac{-4x}{x^2+3} - \frac{12}{x^2+3}$

$\int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx = \int (4x+4 - \frac{4x}{x^2+3} - \frac{12}{x^2+3}) dx$

$= 2x^2 + 4x - 2\ln(x^2+3) - 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

$= 2x^2 + 4x - 2\ln(x^2+3) - 4\sqrt{3}\arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{3x}(5 \cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x))$

(2) $2x^2 + 4x - 2\ln(x^2+3) - 4\sqrt{3}\arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$