(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$、$f'(0) = 3$ の下で解く問題。 (2) 原始関数 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を初期条件 $f(0) = 5$、$f'(0) = 3$ の下で解く問題。

(2) 原始関数 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

微分方程式 $f'' = 6f' - 11f$ を解きます。特性方程式は $r^2 - 6r + 11 = 0$ となります。

この特性方程式の解は、

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-8}}{2} = 3 \pm i\sqrt{2}$

したがって、一般解は

$f(x) = e^{3x}(A\cos(\sqrt{2}x) + B\sin(\sqrt{2}x))$

となります。ここで、$A$ と $B$ は定数です。

初期条件 $f(0) = 5$ より、

$f(0) = e^{0}(A\cos(0) + B\sin(0)) = A = 5$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3e^{3x}(A\cos(\sqrt{2}x) + B\sin(\sqrt{2}x)) + e^{3x}(-A\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x) + B\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x))$

初期条件 $f'(0) = 3$ より、

$f'(0) = 3(A) + B\sqrt{2} = 3$

$3(5) + B\sqrt{2} = 3$

$B\sqrt{2} = -12$

$B = -6\sqrt{2}$

したがって、解は

$f(x) = e^{3x}(5\cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x))$

(2)

原始関数 $I = \int \frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} dx$ を求めます。

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 + 3x - 3 = x^2(x - 1) + 3(x - 1) = (x^2 + 3)(x - 1)$

次に、分子を分母で割ります。

$4x^4 = 4x(x^3 - x^2 + 3x - 3) + 4x^3 - 12x^2 + 12x$

$4x^3 - 12x^2 + 12x = 4(x^3 - x^2 + 3x - 3) + 8x^2$

したがって、

$\frac{4x^4}{x^3 - x^2 + 3x - 3} = 4x + 4 + \frac{8x^2}{(x^2 + 3)(x - 1)}$

$\frac{8x^2}{(x^2 + 3)(x - 1)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 3} + \frac{C}{x - 1}$ とおくと、

$8x^2 = (Ax + B)(x - 1) + C(x^2 + 3)$

$8x^2 = Ax^2 - Ax + Bx - B + Cx^2 + 3C$

$8x^2 = (A + C)x^2 + (-A + B)x + (-B + 3C)$

したがって、

$A + C = 8$

$-A + B = 0$

$-B + 3C = 0$

$B = A$

$A = 3C$

$3C + C = 8$

$4C = 8$

$C = 2$

$A = 6$

$B = 6$

したがって、

$\frac{8x^2}{(x^2 + 3)(x - 1)} = \frac{6x + 6}{x^2 + 3} + \frac{2}{x - 1}$

$I = \int (4x + 4 + \frac{6x + 6}{x^2 + 3} + \frac{2}{x - 1}) dx$

$I = \int (4x + 4 + \frac{3(2x)}{x^2 + 3} + \frac{6}{x^2 + 3} + \frac{2}{x - 1}) dx$

$I = 2x^2 + 4x + 3\ln(x^2 + 3) + \frac{6}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + 2\ln|x - 1| + C$

$I = 2x^2 + 4x + 3\ln(x^2 + 3) + 2\sqrt{3}\arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + 2\ln|x - 1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{3x}(5\cos(\sqrt{2}x) - 6\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x))$

(2) $I = 2x^2 + 4x + 3\ln(x^2 + 3) + 2\sqrt{3}\arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + 2\ln|x - 1| + C$