与えられた関数 $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を $x$ の指数を使って書き換えます。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、

$y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

となります。これを各項に分けて計算しやすい形にします。

$y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ という公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) + 2\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) - 2\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})$

各項の微分は次のようになります。

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

これらの結果を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 2(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}) - 2(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$

最後に、$\sqrt{x}$ の形で表します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

通分して整理します。分母を $2x\sqrt{x}$ に揃えると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$

もしくは

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}}{2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$