定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を観察します。分母の微分が分子の定数倍になっていることに気づきます。

$u = x^3 - 3x^2 + 1$ と置換すると、$du = (3x^2 - 6x) dx = 3(x^2 - 2x) dx$ となります。

したがって、$(x^2 - 2x) dx = \frac{1}{3} du$ です。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 1$ のとき、$u = 1^3 - 3(1^2) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ です。

$x = 2$ のとき、$u = 2^3 - 3(2^2) + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx = \int_{-1}^{-3} \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{-1}^{-3} \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ なので、

$\frac{1}{3} \int_{-1}^{-3} \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} [\ln |u|]_{-1}^{-3} = \frac{1}{3} (\ln |-3| - \ln |-1|) = \frac{1}{3} (\ln 3 - \ln 1)$

$\ln 1 = 0$ なので、

$\frac{1}{3} (\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln 3$