与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$$

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、置換積分法を使います。

まず、分母を $u$ と置きます。

$$u = x^3 - 3x^2 + 1$$

次に、$u$ を $x$ で微分します。

$$\frac{du}{dx} = 3x^2 - 6x$$

$$du = (3x^2 - 6x) dx$$

積分を計算するために、分子を $3x^2 - 6x$ の形に書き換えます。

分子は $x^2 - 2x$ なので、3をかけると $3x^2 - 6x$ になります。そこで、与えられた積分を次のように書き換えます。

$$\int \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{3(x^2 - 2x)}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$$

$$= \frac{1}{3} \int \frac{3x^2 - 6x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$$

置換積分を適用します。$u = x^3 - 3x^2 + 1$ であり、$du = (3x^2 - 6x) dx$ なので、

$$\frac{1}{3} \int \frac{3x^2 - 6x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du$$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ なので、

$$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C$$

$u$ を元に戻すと、

$$\frac{1}{3} \ln |x^3 - 3x^2 + 1| + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{3} \ln |x^3 - 3x^2 + 1| + C$$