$\int_{0}^{\pi} \cos^2(3x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\pi} \cos^2(3x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos^2(3x)$ を倍角の公式を使って変形します。

$\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ より、$\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ となります。

したがって、$\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}$ となります。

$\int_{0}^{\pi} \cos^2(3x) dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos(6x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(6x)) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{6}\sin(6x) \right]_{0}^{\pi}$

$= \frac{1}{2} \left[ (\pi + \frac{1}{6}\sin(6\pi)) - (0 + \frac{1}{6}\sin(0)) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \pi + 0 - 0 - 0 \right] = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$