(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^{n+1}+(-2)^{n+4}}{3^n - 2^n}$ を計算する。 (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3^{n+1}+(-2)^{n+4}}{3^n - 2^n}$ を計算する。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母を $3^n$ で割る。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{3^{n+1}+(-2)^{n+4}}{3^n - 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{3 + (-2/3)^n (-2)^4 / 3^0}{1 - (2/3)^n}$$

$n \to \infty$ のとき、 $|-2/3| < 1$ なので $(-2/3)^n \to 0$、かつ $2/3 < 1$ なので $(2/3)^n \to 0$。したがって、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{3 + (-2/3)^n 16}{1 - (2/3)^n} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3$$

(2) 部分分数分解を行う。

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$$

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$ より、

$2A + 2B = 0$ かつ $A - B = 1$。よって、$A = 1/2$ かつ $B = -1/2$。

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$$

部分和を考える。

$$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$$

$$S_N = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1} \right) \right]$$

$$S_N = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2N+1} \right)$$

$$\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2N+1} \right) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 1/2