関数 $f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0, 1] \times [0, 1] - \{(0, 0)\}$ が与えられている。 (1) $A_n = \{(x, y) \in A | y \ge \frac{1}{n}\}$ に対して、$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy$ を求めよ。ただし、$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ である。 (2) 上の (1) と同じ $A_n$ に対して、$\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy$ を求めよ。ただし、$f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ である。 (3) 広義重積分 $\iint_A f(x, y) dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0, 1] \times [0, 1] - \{(0, 0)\}$ が与えられている。

(1) $A_n = \{(x, y) \in A | y \ge \frac{1}{n}\}$ に対して、$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy$ を求めよ。ただし、$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ である。

(2) 上の (1) と同じ $A_n$ に対して、$\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy$ を求めよ。ただし、$f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ である。

(3) 広義重積分 $\iint_A f(x, y) dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f_+(x, y)$ を求める。$f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ なので、$f(x, y) \ge 0$ となるのは $y^2 \ge x^2$、つまり $|y| \ge |x|$ のときである。$x \ge 0, y \ge 0$ なので、$y \ge x$ のとき $f(x, y) \ge 0$、そうでないとき $f(x, y) < 0$ となる。よって、

$$f_+(x, y) = \begin{cases} \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} & (y \ge x) \\ 0 & (y < x) \end{cases}$$

積分領域は $A_n = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, \frac{1}{n} \le y \le 1\}$ である。したがって、

$$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy = \int_{1/n}^1 \int_0^y \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} dxdy$$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、

$$\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{r^2(\sin^2\theta - \cos^2\theta)}{r^4} = \frac{-\cos(2\theta)}{r^2}$$

また、$dxdy = rdrd\theta$ であるから、

$$\int \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} dx = \int \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} dx = \frac{x}{x^2 + y^2}$$

したがって、

$$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy = \int_{1/n}^1 \left[ \frac{x}{x^2 + y^2} \right]_0^y dy = \int_{1/n}^1 \frac{y}{y^2 + y^2} dy = \int_{1/n}^1 \frac{1}{2y} dy = \left[ \frac{1}{2} \log y \right]_{1/n}^1 = \frac{1}{2} (0 - \log \frac{1}{n}) = \frac{1}{2} \log n$$

(2) $f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ であるから、

$$f_-(x, y) = \begin{cases} -\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} & (y < x) \\ 0 & (y \ge x) \end{cases}$$

したがって、

$$\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy = \int_{1/n}^1 \int_y^1 -\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} dxdy = \int_{1/n}^1 \int_y^1 \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} dxdy$$

$$\int \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} dx = -\frac{x}{x^2 + y^2}$$

$$\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy = \int_{1/n}^1 \left[ -\frac{x}{x^2 + y^2} \right]_y^1 dy = \int_{1/n}^1 \left( -\frac{1}{1 + y^2} + \frac{y}{y^2 + y^2} \right) dy = \int_{1/n}^1 \left( -\frac{1}{1 + y^2} + \frac{1}{2y} \right) dy$$

$$= \left[ -\arctan y + \frac{1}{2} \log y \right]_{1/n}^1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log 1 - \left( -\arctan \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{n} \right) = -\frac{\pi}{4} + \arctan \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \log n$$

(3) $\iint_{A_n} f(x, y) dxdy = \iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy - \iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy$

$$= \frac{1}{2} \log n - \left( -\frac{\pi}{4} + \arctan \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \log n \right) = \frac{\pi}{4} - \arctan \frac{1}{n}$$

$n \to \infty$ のとき $\arctan \frac{1}{n} \to 0$ なので、$\iint_A f(x, y) dxdy = \lim_{n \to \infty} \iint_{A_n} f(x, y) dxdy = \frac{\pi}{4}$ となり、広義積分は存在する。

3. 最終的な答え

(1) $\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy = \frac{1}{2} \log n$

(2) $\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy = -\frac{\pi}{4} + \arctan \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \log n$

(3) 広義積分は存在し、$\iint_A f(x, y) dxdy = \frac{\pi}{4}$