問題8-4： 関数 $y = \frac{\log x}{x}$ （$x > 0$）の増減を調べ、$100^{101}$ と $101^{100}$ の大小を判定します。 問題8-5： $a < b < c$ のとき、$\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ を平均値の定理を用いて示す。

1. 問題の内容

問題8-4：

関数 $y = \frac{\log x}{x}$ （$x > 0$）の増減を調べ、$100^{101}$ と $101^{100}$ の大小を判定します。

問題8-5：

$a < b < c$ のとき、$\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ を平均値の定理を用いて示す。

2. 解き方の手順

問題8-4：

(1) 関数の微分：

$y = \frac{\log x}{x}$ を微分します。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

(2) 増減の判定：

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0$ より、$1 - \log x = 0$ となり、$\log x = 1$。

したがって、$x = e$。

$x < e$ のとき、$y' > 0$ なので、$y$ は増加します。

$x > e$ のとき、$y' < 0$ なので、$y$ は減少します。

(3) 大小の判定：

$f(x) = \frac{\log x}{x}$ とおきます。

$100^{101}$ と $101^{100}$ の大小を比較するために、両辺の対数をとります。

$\log(100^{101}) = 101 \log(100)$

$\log(101^{100}) = 100 \log(101)$

$101 \log(100)$ と $100 \log(101)$ の大小を比較します。

$\frac{\log 100}{100}$ と $\frac{\log 101}{101}$ を比較します。

$f(x) = \frac{\log x}{x}$ とおくと、$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$ です。

$x > e$ で $f(x)$ は減少するので、$f(100) > f(101)$ となります。

したがって、$\frac{\log 100}{100} > \frac{\log 101}{101}$。

$101 \log 100 > 100 \log 101$

$\log(100^{101}) > \log(101^{100})$

よって、$100^{101} > 101^{100}$。

問題8-5：

(1) 平均値の定理の適用：

関数 $f(x) = e^x$ を考えます。

区間 $[a, b]$ において平均値の定理より、ある $c_1 \in (a, b)$ が存在して、

$\frac{e^b - e^a}{b - a} = e^{c_1}$

区間 $[b, c]$ において平均値の定理より、ある $c_2 \in (b, c)$ が存在して、

$\frac{e^c - e^b}{c - b} = e^{c_2}$

(2) 大小比較：

$a < b < c$ より、$c_1 < b < c_2$。

したがって、$c_1 < c_2$。

$e^{c_1} < e^{c_2}$。

(3) 結論：

$\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

問題8-4：

関数 $y = \frac{\log x}{x}$ は、$x < e$ で増加し、$x > e$ で減少します。

$100^{101} > 101^{100}$

問題8-5：

$\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ (証明終わり)