与えられた11個の極限の値を求める問題です。 (a) $\lim_{x \to \infty} 5^x$ (b) $\lim_{x \to \infty} (\frac{3}{4})^x$ (c) $\lim_{x \to -\infty} e^x$ (d) $\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{3})^x$ (e) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 1}{3^x + 4}$ (f) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2 \cdot 3^x - 1}{3^x + 4}$ (g) $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x - 1}{3^x + 4}$ (h) $\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 3^x - 1}{3^x + 4}$ (i) $\lim_{x \to \infty} \log_5 x$ (j) $\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{6}} x$ (k) $\lim_{x \to \infty} \log_3 (x^2 - 2)$

1. 問題の内容

与えられた11個の極限の値を求める問題です。

(a) $\lim_{x \to \infty} 5^x$

(b) $\lim_{x \to \infty} (\frac{3}{4})^x$

(c) $\lim_{x \to -\infty} e^x$

(d) $\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{3})^x$

(e) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 1}{3^x + 4}$

(f) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2 \cdot 3^x - 1}{3^x + 4}$

(g) $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x - 1}{3^x + 4}$

(h) $\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 3^x - 1}{3^x + 4}$

(i) $\lim_{x \to \infty} \log_5 x$

(j) $\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{6}} x$

(k) $\lim_{x \to \infty} \log_3 (x^2 - 2)$

2. 解き方の手順

(a) $5 > 1$ なので、$\lim_{x \to \infty} 5^x = \infty$

(b) $\frac{3}{4} < 1$ なので、$\lim_{x \to \infty} (\frac{3}{4})^x = 0$

(c) $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

(d) $\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{3})^x = \lim_{x \to -\infty} 3^{-x} = \lim_{x \to \infty} 3^x = \infty$

(e) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^x - 1}{3^x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{3^x}}{1 + \frac{4}{3^x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

(f) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2 \cdot 3^x - 1}{3^x + 4} = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0 + 4} = -\frac{1}{4}$

(g) $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x - 1}{3^x + 4} = \frac{0 - 1}{0 + 4} = -\frac{1}{4}$

(h) $\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 3^x - 1}{3^x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{3^x}}{1 + \frac{4}{3^x}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$

(i) $\lim_{x \to \infty} \log_5 x = \infty$

(j) $\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{6}} x = -\infty$

(k) $\lim_{x \to \infty} \log_3 (x^2 - 2) = \infty$

3. 最終的な答え

(a) $\infty$

(b) $0$

(c) $0$

(d) $\infty$

(e) $1$

(f) $-\frac{1}{4}$

(g) $-\frac{1}{4}$

(h) $2$

(i) $\infty$

(j) $-\infty$

(k) $\infty$