与えられた2つの積分を計算します。 (4) $\int \tan^2 x dx$ (5) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を計算します。

(4) $\int \tan^2 x dx$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

2. 解き方の手順

(4) $\int \tan^2 x dx$ について

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$の関係を利用します。

$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx$

$\int \sec^2 x dx = \tan x$ であり、$\int 1 dx = x$なので、

$\int (\sec^2 x - 1) dx = \tan x - x + C$となります。（Cは積分定数）

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ について

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ と書き換えます。

$\int x^{-1/2} dx$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ の公式を利用すると、

$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$となります。（Cは積分定数）

3. 最終的な答え

(4) $\tan x - x + C$

(5) $2\sqrt{x} + C$