$x$ の3次方程式 $x^3 - x^2 + k = 0$ が、異なる3つの実数解 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) を持つとき、定数 $k$ の取り得る値の範囲と、$\beta$ の取り得る値の範囲をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 - x^2 + k = 0$ が、異なる3つの実数解 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) を持つとき、定数 $k$ の取り得る値の範囲と、$\beta$ の取り得る値の範囲をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - x^2$ とおくと、与えられた方程式は $f(x) = -k$ と書き換えられます。3つの異なる実数解を持つためには、$y = f(x)$ のグラフと $y = -k$ の直線が3点で交わる必要があります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, \frac{2}{3}$ のときです。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - (\frac{2}{3})^2 = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} = \frac{8 - 12}{27} = -\frac{4}{27}$

したがって、$y = f(x)$ のグラフは、$x = 0$ で極大値 $0$ を、$x = \frac{2}{3}$ で極小値 $-\frac{4}{27}$ をとります。

$y = f(x)$ のグラフと $y = -k$ が3点で交わるためには、$-\frac{4}{27} < -k < 0$ である必要があります。

(1) $-k$ の範囲は $-\frac{4}{27} < -k < 0$ なので、$0 < k < \frac{4}{27}$ が $k$ の取り得る値の範囲です。

(2) $\beta$ は $f(x) = -k$ の3つの解のうち中央の解です。

$0 < k < \frac{4}{27}$ において、極小値を与える $x = \frac{2}{3}$ と極大値を与える $x = 0$ の間のどこかに $\beta$ は存在します。

また、$x = 0$ のとき極大値 $0$ をとるので、$\beta$ は $0 < \beta < \frac{2}{3}$ を満たします。

$f(x) = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$ なので、$x = 1$ で $f(1) = 0$ となり、$x = 1$ は $f(x) = 0$ の解です。

したがって、$\beta$ は常に $0 < \beta < 1$ を満たします。

$y = f(x)$ は $x = \frac{1}{3}$ で対称です。$\beta$ の最小値は、$f(\frac{2}{3})= -\frac{4}{27}$ のとき、$x = \frac{2}{3}$です。$f(\beta) = -k$

$k$ は $0 < k < \frac{4}{27}$ なので、$0 < -f(\beta) < \frac{4}{27}$.

$x^3 - x^2 = -k$ のグラフを見ると、$\beta$ の取りうる範囲は $0 < \beta < 1$ であることが分かります。

$k = \frac{4}{27}$ のとき、$\beta = \frac{2}{3}$ なので、$\beta$ の最大値は $\frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $0 < k < \frac{4}{27}$

(2) $0 < \beta < \frac{2}{3}$