関数 $f(x) = x^2 e^x$ の6階微分 $f^{(6)}(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 e^x$ の6階微分 $f^{(6)}(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 e^x$ の微分をいくつか計算して、規則性を見つけることを試みます。

\begin{itemize}

\item $f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x) e^x$

\item $f''(x) = (2x + 2) e^x + (x^2 + 2x) e^x = (x^2 + 4x + 2) e^x$

\item $f'''(x) = (2x + 4) e^x + (x^2 + 4x + 2) e^x = (x^2 + 6x + 6) e^x$

\item $f^{(4)}(x) = (2x + 6) e^x + (x^2 + 6x + 6) e^x = (x^2 + 8x + 12) e^x$

\item $f^{(5)}(x) = (2x + 8) e^x + (x^2 + 8x + 12) e^x = (x^2 + 10x + 20) e^x$

\item $f^{(6)}(x) = (2x + 10) e^x + (x^2 + 10x + 20) e^x = (x^2 + 12x + 30) e^x$

\end{itemize}

一般的に、n階微分は

$f^{(n)}(x) = (x^2 + 2nx + n(n-1))e^x$

と予想されます。

この予想が正しいことを数学的帰納法で証明することもできますが、ここでは直接計算します。

したがって、6階微分は

$f^{(6)}(x) = (x^2 + 12x + 30) e^x$

となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 12x + 30) e^x$