区間$[0, 2\pi]$で定義された二つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ の自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ および $R_{gg}(\tau)$ を求める。規格化すること。

1. 問題の内容

区間$[0, 2\pi]$で定義された二つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ の自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ および $R_{gg}(\tau)$ を求める。規格化すること。

2. 解き方の手順

自己相関関数は、関数とその時間遅延版の積の積分で定義されます。規格化とは、自己相関関数の最大値で割ることを意味します。

まず、自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ を計算します。

$R_{ff}(\tau) = \int_0^{2\pi} f(t) f(t+\tau) dt = \int_0^{2\pi} \sin(t) \sin(t+\tau) dt$

三角関数の積和の公式 $\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ を用いると、

$R_{ff}(\tau) = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} [\cos(\tau) - \cos(2t+\tau)] dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos(\tau) dt - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos(2t+\tau) dt$

$R_{ff}(\tau) = \frac{1}{2} \cos(\tau) \int_0^{2\pi} dt - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \sin(2t+\tau)]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \cos(\tau) (2\pi) - \frac{1}{4} [\sin(4\pi+\tau) - \sin(\tau)] = \pi \cos(\tau) - \frac{1}{4} [\sin(\tau) - \sin(\tau)] = \pi \cos(\tau)$

したがって、$R_{ff}(\tau) = \pi \cos(\tau)$.

次に、自己相関関数 $R_{gg}(\tau)$ を計算します。

$R_{gg}(\tau) = \int_0^{2\pi} g(t) g(t+\tau) dt = \int_0^{2\pi} \cos(t) \cos(t+\tau) dt$

三角関数の積和の公式 $\cos(A) \cos(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ を用いると、

$R_{gg}(\tau) = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} [\cos(\tau) + \cos(2t+\tau)] dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos(\tau) dt + \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \cos(2t+\tau) dt$

$R_{gg}(\tau) = \frac{1}{2} \cos(\tau) \int_0^{2\pi} dt + \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \sin(2t+\tau)]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \cos(\tau) (2\pi) + \frac{1}{4} [\sin(4\pi+\tau) - \sin(\tau)] = \pi \cos(\tau) + \frac{1}{4} [\sin(\tau) - \sin(\tau)] = \pi \cos(\tau)$

したがって、$R_{gg}(\tau) = \pi \cos(\tau)$.

規格化するため、$R_{ff}(\tau)$ と $R_{gg}(\tau)$ をそれぞれの最大値で割ります。

$R_{ff}(0) = \pi \cos(0) = \pi$

$R_{gg}(0) = \pi \cos(0) = \pi$

規格化された自己相関関数は次のようになります。

$R_{ff}(\tau)_{normalized} = \frac{R_{ff}(\tau)}{R_{ff}(0)} = \frac{\pi \cos(\tau)}{\pi} = \cos(\tau)$

$R_{gg}(\tau)_{normalized} = \frac{R_{gg}(\tau)}{R_{gg}(0)} = \frac{\pi \cos(\tau)}{\pi} = \cos(\tau)$

3. 最終的な答え

$R_{ff}(\tau) = \cos(\tau)$

$R_{gg}(\tau) = \cos(\tau)$