$$ \iint_D \frac{1}{\sqrt{y-x}} dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^y \frac{1}{\sqrt{y-x}} dx \right) dy $$

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1. 問題の内容

以下の3つの重積分の値を計算します。

(1) $\iint_D \frac{1}{\sqrt{y-x}} dxdy$, $D: 0 \le x < y \le 1$

(2) $\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy$, $D: -1 \le x+y \le 1, -1 \le x-y \le 1$

(3) $\iint_D \frac{|xy|}{x^2+y^2} dxdy$, $D: x^2 + y^2 \le 1$

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2. 解き方の手順

### (1)

1. 積分範囲を明示します。$D$ は $0 \le x < y \le 1$ なので、

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\iint_D \frac{1}{\sqrt{y-x}} dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^y \frac{1}{\sqrt{y-x}} dx \right) dy

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2. 内側の積分を計算します。$u = y-x$ と置換すると、$du = -dx$ であり、$x: 0 \to y$ のとき $u: y \to 0$ です。

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\int_0^y \frac{1}{\sqrt{y-x}} dx = - \int_y^0 \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int_0^y u^{-1/2} du = \left[ 2u^{1/2} \right]_0^y = 2\sqrt{y}

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3. 外側の積分を計算します。

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\int_0^1 2\sqrt{y} dy = 2 \int_0^1 y^{1/2} dy = 2 \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

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### (2)

1. 変数変換を行います。$u = x+y$, $v = x-y$ とおくと、$x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$ となります。また、ヤコビアンは

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\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}

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したがって、$|J| = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| = \frac{1}{2}$ です。

2. 積分範囲を変換します。$D$ は $-1 \le x+y \le 1$ かつ $-1 \le x-y \le 1$ なので、$-1 \le u \le 1$ かつ $-1 \le v \le 1$ となります。

3. 積分を計算します。

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\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 u^2 e^v |J| dudv = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 u^2 du \int_{-1}^1 e^v dv

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\int_{-1}^1 u^2 du = \left[ \frac{1}{3} u^3 \right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}

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\int_{-1}^1 e^v dv = \left[ e^v \right]_{-1}^1 = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}

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\iint_D (x+y)^2 e^{x-y} dxdy = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(e - \frac{1}{e}\right) = \frac{1}{3} \left(e - \frac{1}{e}\right)

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### (3)

1. 極座標変換を行います。$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ となります。ヤコビアンは $r$ です。

2. 積分範囲を変換します。$D$ は $x^2 + y^2 \le 1$ なので、$r^2 \le 1$ より $0 \le r \le 1$ となります。また、$0 \le \theta \le 2\pi$ です。

3. 積分を計算します。

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\iint_D \frac{|xy|}{x^2+y^2} dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{|r \cos \theta \cdot r \sin \theta|}{r^2} r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 |r \cos \theta \sin \theta| dr d\theta

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\int_0^1 r dr = \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}

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\int_0^{2\pi} |\cos \theta \sin \theta| d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}|\sin 2\theta| d\theta = 4 \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin 2\theta d\theta = 2 \left[ -\frac{1}{2} \cos 2\theta \right]_0^{\pi/2} = 2 \left( -\frac{1}{2}(-1) - \left(-\frac{1}{2}(1)\right) \right) = 2

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\iint_D \frac{|xy|}{x^2+y^2} dxdy = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $\frac{1}{3} \left(e - \frac{1}{e}\right)$

(3) $1$