次の5つの関数を微分せよ。 (1) $e^{x^4}$ (2) $e^{x^2 \cos x}$ (3) $\log |\log x|$ (4) $(\log(x^2 + x + 1))^3$ (5) $x^{\cos x}$ (ただし、$x > 0$)

1. 問題の内容

次の5つの関数を微分せよ。

(1) $e^{x^4}$

(2) $e^{x^2 \cos x}$

(3) $\log |\log x|$

(4) $(\log(x^2 + x + 1))^3$

(5) $x^{\cos x}$ (ただし、$x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{x^4}$

合成関数の微分法を用いる。$u = x^4$ とおくと、$y = e^u$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 4x^3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 4x^3 = 4x^3 e^{x^4}$

(2) $y = e^{x^2 \cos x}$

合成関数の微分法を用いる。$u = x^2 \cos x$ とおくと、$y = e^u$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x \cos x - x^2 \sin x$ (積の微分)

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (2x \cos x - x^2 \sin x) = (2x \cos x - x^2 \sin x) e^{x^2 \cos x}$

(3) $y = \log |\log x|$

合成関数の微分法を用いる。$u = \log x$ とおくと、$y = \log |u|$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

(4) $y = (\log(x^2 + x + 1))^3$

合成関数の微分法を用いる。$u = \log(x^2 + x + 1)$ とおくと、$y = u^3$ である。

さらに、$v = x^2 + x + 1$ とおくと、$u = \log v$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dv} \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = 2x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{1}{v} \cdot (2x + 1) = 3(\log(x^2 + x + 1))^2 \cdot \frac{1}{x^2 + x + 1} \cdot (2x + 1) = \frac{3(2x+1)(\log(x^2 + x + 1))^2}{x^2 + x + 1}$

(5) $y = x^{\cos x}$

両辺の対数をとると、$\log y = \cos x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \log x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right) = x^{\cos x} \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $4x^3 e^{x^4}$

(2) $(2x \cos x - x^2 \sin x) e^{x^2 \cos x}$

(3) $\frac{1}{x \log x}$

(4) $\frac{3(2x+1)(\log(x^2 + x + 1))^2}{x^2 + x + 1}$

(5) $x^{\cos x} \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right)$