与えられた5つの関数をそれぞれ微分します。 (1) $e^{x^4}$ (2) $e^{x^2 \cos x}$ (3) $\log |\log x|$ (4) $(\log (x^2 + x + 1))^3$ (5) $x^{\cos x} (x > 0)$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数をそれぞれ微分します。

(1) $e^{x^4}$

(2) $e^{x^2 \cos x}$

(3) $\log |\log x|$

(4) $(\log (x^2 + x + 1))^3$

(5) $x^{\cos x} (x > 0)$

2. 解き方の手順

(1)

合成関数の微分を使います。$y = e^u$ と $u = x^4$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = e^u$, $\frac{du}{dx} = 4x^3$ より、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 4x^3 = e^{x^4} \cdot 4x^3 = 4x^3 e^{x^4}$

(2)

合成関数の微分を使います。$y = e^u$ と $u = x^2 \cos x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = (x^2)' \cos x + x^2 (\cos x)' = 2x \cos x - x^2 \sin x$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (2x \cos x - x^2 \sin x) = e^{x^2 \cos x} (2x \cos x - x^2 \sin x)$

(3)

合成関数の微分を使います。$y = \log |u|$ と $u = \log x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

(4)

合成関数の微分を使います。$y = u^3$ と $u = \log (x^2 + x + 1)$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + x + 1} (2x + 1) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} = 3 (\log (x^2 + x + 1))^2 \cdot \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$

(5)

両辺の対数をとります。

$\log y = \log (x^{\cos x}) = \cos x \log x$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x)' \log x + \cos x (\log x)' = -\sin x \log x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right) = x^{\cos x} \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $4x^3 e^{x^4}$

(2) $e^{x^2 \cos x} (2x \cos x - x^2 \sin x)$

(3) $\frac{1}{x \log x}$

(4) $\frac{3(2x+1)(\log(x^2+x+1))^2}{x^2+x+1}$

(5) $x^{\cos x} \left(-\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}\right)$