与えられた積分を計算する問題です。積分は以下の通りです。 $\int \frac{3}{9+x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。積分は以下の通りです。

$\int \frac{3}{9+x^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分定数である3を積分の外に出します。

$3 \int \frac{1}{9+x^2} dx$

次に、$9+x^2$ を $3^2+x^2$ と見なします。これは $a^2+x^2$ の形であり、$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ という公式を利用できます。ここで、$a=3$ なので、

$\int \frac{1}{3^2+x^2} dx = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$

したがって、

$3 \int \frac{1}{9+x^2} dx = 3 \cdot \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$

$= \arctan(\frac{x}{3}) + C$

3. 最終的な答え

$\arctan(\frac{x}{3}) + C$