関数 $f(x,y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0,1] \times [0,1] - \{(0,0)\}$ が与えられています。以下の3つの問いに答えます。 (1) $A_n = \{(x,y) \in A \mid y \geq \frac{1}{n}\}$ とするとき、$\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_+(x,y) = \max\{0, f(x,y)\}$ です。 (2) 上の (1) と同じ $A_n$ に対して、$\iint_{A_n} f_-(x,y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_-(x,y) = \max\{0, -f(x,y)\}$ です。 (3) 広義積分 $\iint_A f(x,y) dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0,1] \times [0,1] - \{(0,0)\}$ が与えられています。以下の3つの問いに答えます。

(1) $A_n = \{(x,y) \in A \mid y \geq \frac{1}{n}\}$ とするとき、$\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_+(x,y) = \max\{0, f(x,y)\}$ です。

(2) 上の (1) と同じ $A_n$ に対して、$\iint_{A_n} f_-(x,y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_-(x,y) = \max\{0, -f(x,y)\}$ です。

(3) 広義積分 $\iint_A f(x,y) dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy$ の計算

まず、$f(x,y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \geq 0$ となる条件を考えます。$y^2 \geq x^2$ つまり $|y| \geq |x|$ のとき、$f(x,y) \geq 0$ となります。領域 $A_n$ は、$0 \leq x \leq 1$、$1/n \leq y \leq 1$ です。

$f_+(x,y) = \max(0, f(x,y))$ なので、$f(x,y) \geq 0$ の場合に $f_+(x,y) = f(x,y)$、$f(x,y) < 0$ の場合に $f_+(x,y) = 0$ となります。

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行います。このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、$dxdy = rdrd\theta$ となります。また、$f(x,y) = \frac{r^2\sin^2\theta - r^2\cos^2\theta}{r^4} = \frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{r^2} = -\frac{\cos 2\theta}{r^2}$ となります。

$f(x,y) \geq 0$ となる条件は $\cos 2\theta \leq 0$、つまり $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}$ または $\frac{5\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{4}$ です。

領域 $A_n$ を極座標で表すと、$r\sin\theta \geq \frac{1}{n}$、$0 \leq r\cos\theta \leq 1$、$r\sin\theta \leq 1$ となります。したがって、$r \geq \frac{1}{n\sin\theta}$ です。

$\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1}{n\sin\theta}}^{\infty} \max(0, f(x,y)) rdrd\theta$

積分範囲を $\pi/4 \le \theta \le 3\pi/4$ と $5\pi/4 \le \theta \le 7\pi/4$ に限定することで、$f(x,y)$ は非負になるので、

$\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1}{n\sin\theta}}^{\frac{1}{\cos\theta}} f(x,y) r dr d\theta + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_{\frac{1}{n\sin\theta}}^{1/\sin\theta} f(x,y) r dr d\theta$

$\int f(x,y) r dr = \int -\frac{\cos(2\theta)}{r} dr = -\cos(2\theta) \ln(r)$

$\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} -\cos(2\theta)[\ln(\frac{1}{\cos\theta}) - \ln(\frac{1}{n\sin\theta})]d\theta + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} -\cos(2\theta)[\ln(\frac{1}{\sin\theta}) - \ln(\frac{1}{n\sin\theta})] d\theta$

簡単にするため、$x, y > 0$ における $f(x,y) > 0$ の部分だけを考えます。 $y > x$ の領域で積分を評価します。

$\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy = \int_{1/n}^1 \int_0^y \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} dx dy$

ここで、$x = yt$ とおくと、$dx = ydt$ となり、

$\int_0^y \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} dx = \int_0^1 \frac{y^2 - y^2t^2}{(y^2t^2 + y^2)^2} y dt = \int_0^1 \frac{y^3(1-t^2)}{y^4(t^2+1)^2} dt = \frac{1}{y} \int_0^1 \frac{1-t^2}{(1+t^2)^2} dt$

$\int_0^1 \frac{1-t^2}{(1+t^2)^2} dt = \frac{1}{2}\frac{t}{1+t^2}\vert_0^1 = \frac{1}{2}$

よって、$\int_{1/n}^1 \int_0^y \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} dx dy = \int_{1/n}^1 \frac{1}{2y} dy = \frac{1}{2} [\ln y]_{1/n}^1 = \frac{1}{2} (0 - \ln(1/n)) = \frac{1}{2} \ln n$

(2) $\iint_{A_n} f_-(x,y) dxdy$ の計算

$f_-(x,y) = \max(0, -f(x,y))$ なので、$f(x,y) \leq 0$ の場合に $f_-(x,y) = -f(x,y)$、$f(x,y) > 0$ の場合に $f_-(x,y) = 0$ となります。

$f(x,y) \le 0$ となるのは、$y<x$ の場合です。

同様に計算すると$\iint_{A_n} f_-(x,y) dxdy$は$\frac{1}{2}\ln(n)$

(3) 広義積分 $\iint_A f(x,y) dxdy$ の存在

$\iint_A f(x,y) dxdy = \lim_{n\to\infty} \iint_{A_n} f(x,y) dxdy = \lim_{n\to\infty} (\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy - \iint_{A_n} f_-(x,y) dxdy)$

$= \lim_{n\to\infty} (\frac{1}{2}\ln n - \frac{1}{2}\ln n) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy = \frac{1}{2} \ln n$

(2) $\iint_{A_n} f_-(x,y) dxdy = \frac{1}{2} \ln n$

(3) $\iint_A f(x,y) dxdy = 0$