与えられた数式の値を計算します。 数式は $\frac{\log_2 5 \times \log_3 36 \times \log_5 27}{\log_2 3 + \log_2 2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。

数式は

$\frac{\log_2 5 \times \log_3 36 \times \log_5 27}{\log_2 3 + \log_2 2}$

です。

2. 解き方の手順

まず、分子を簡単にします。

$\log_3 36 = \log_3 (6^2) = 2\log_3 6 = 2\log_3 (2 \times 3) = 2(\log_3 2 + \log_3 3) = 2(\log_3 2 + 1)$

$\log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3\log_5 3$

分子は

$\log_2 5 \times 2(\log_3 2 + 1) \times 3\log_5 3 = 6 \times \log_2 5 \times (\log_3 2 + 1) \times \log_5 3$

ここで、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_3 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \frac{1}{\log_2 3}$

$\log_5 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 5}$

したがって、分子は

$6 \times \log_2 5 \times (\frac{1}{\log_2 3} + 1) \times \frac{\log_2 3}{\log_2 5} = 6 \times (\frac{1}{\log_2 3} + 1) \times \log_2 3 = 6 \times (\frac{1 + \log_2 3}{\log_2 3}) \times \log_2 3 = 6(1 + \log_2 3)$

次に、分母を簡単にします。

$\log_2 3 + \log_2 2 = \log_2 3 + 1$

したがって、数式全体は

$\frac{6(1 + \log_2 3)}{\log_2 3 + 1} = 6$

3. 最終的な答え

6