関数 $f(x) = \sin x$ の $x = \pi$ におけるテイラー展開を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x$ の $x = \pi$ におけるテイラー展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の $x = a$ におけるテイラー展開は、以下の式で表されます。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$

今回は、$f(x) = \sin x$、$a = \pi$ なので、まず $f(x)$ の各階微分を計算します。

* $f(x) = \sin x$

* $f'(x) = \cos x$

* $f''(x) = -\sin x$

* $f'''(x) = -\cos x$

* $f''''(x) = \sin x$

次に、これらの微分に $x = \pi$ を代入します。

* $f(\pi) = \sin \pi = 0$

* $f'(\pi) = \cos \pi = -1$

* $f''(\pi) = -\sin \pi = 0$

* $f'''(\pi) = -\cos \pi = -(-1) = 1$

* $f''''(\pi) = \sin \pi = 0$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x) = 0 + (-1)(x-\pi) + \frac{0}{2!}(x-\pi)^2 + \frac{1}{3!}(x-\pi)^3 + \frac{0}{4!}(x-\pi)^4 + \frac{-1}{5!}(x-\pi)^5 + \cdots$

整理すると、

$f(x) = -(x-\pi) + \frac{1}{3!}(x-\pi)^3 - \frac{1}{5!}(x-\pi)^5 + \cdots$

3. 最終的な答え

1. $ -(x - \pi) + \frac{1}{3!}(x - \pi)^3 - \frac{1}{5!}(x - \pi)^5 + \cdots$