関数 $f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0, 1] \times [0, 1] - \{(0, 0)\}$ について、以下の問題を解きます。 (1) $A_n = \{(x, y) \in A \mid y \geq \frac{1}{n}\}$ とするとき、$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ です。 (2) 上の (1) と同じ $A_n$ に対して、$\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ です。 (3) 広義積分 $\iint_A f(x, y) dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ と領域 $A = [0, 1] \times [0, 1] - \{(0, 0)\}$ について、以下の問題を解きます。

(1) $A_n = \{(x, y) \in A \mid y \geq \frac{1}{n}\}$ とするとき、$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ です。

(2) 上の (1) と同じ $A_n$ に対して、$\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy$ の値を求めます。ここで、$f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ です。

(3) 広義積分 $\iint_A f(x, y) dxdy$ が存在するか議論し、存在する場合はその値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ を極座標 $(r, \theta)$ で表します。

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ とすると、

$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^2\sin^2\theta - r^2\cos^2\theta}{(r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta)^2} = \frac{r^2(\sin^2\theta - \cos^2\theta)}{r^4} = \frac{-\cos(2\theta)}{r^2}$

$A_n = \{(x, y) \in [0, 1] \times [0, 1] \mid y \geq \frac{1}{n}\}$ を極座標で表します。

$y \geq \frac{1}{n} \Leftrightarrow r\sin\theta \geq \frac{1}{n} \Leftrightarrow r \geq \frac{1}{n\sin\theta}$

$f_+(x, y) = \max\{0, f(x, y)\}$ なので、$f_+(x, y)$ は $f(x, y) > 0$ のとき $f(x, y)$ であり、$f(x, y) \leq 0$ のとき 0 です。

$f(x, y) = \frac{-\cos(2\theta)}{r^2} > 0 \Leftrightarrow \cos(2\theta) < 0$

$\cos(2\theta) < 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \int_{\frac{1}{n\sin\theta}}^{1} \frac{-\cos(2\theta)}{r^2} r dr d\theta$

$\iint_{A_n} f_+(x,y)dxdy = \int_{\pi/2}^{\pi} d\theta \int_{\frac{1}{n\sin\theta}}^{\frac{1}{\sin \theta}} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}rdr d\theta$

$\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_{1/n\sin\theta}^{\sqrt{1+y^2}} (\frac{-\cos 2\theta}{r^2})rdrd\theta = \int_{1/n}^{1} \int_0^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy$

$\iint_{A_n} f_+(x,y) dxdy = \iint_{A_n} max\{0, f(x,y)\}dxdy = 0$.

(2) $f_-(x, y) = \max\{0, -f(x, y)\}$ なので、$f_-(x, y)$ は $f(x, y) < 0$ のとき $-f(x, y)$ であり、$f(x, y) \geq 0$ のとき 0 です。

$f(x, y) = \frac{-\cos(2\theta)}{r^2} < 0 \Leftrightarrow \cos(2\theta) > 0$

$\cos(2\theta) > 0 \Leftrightarrow 0 < \theta < \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} < \theta < \pi$

$\iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy = \iint_{A_n} max\{0, -f(x,y)\}dxdy = 0$.

(3) $\iint_A f(x, y) dxdy = \lim_{n \to \infty} \iint_{A_n} f(x, y) dxdy = \lim_{n \to \infty} \iint_{A_n} (f_+(x, y) - f_-(x, y)) dxdy = \lim_{n \to \infty} (\iint_{A_n} f_+(x, y) dxdy - \iint_{A_n} f_-(x, y) dxdy)$

$= \lim_{n \to \infty} (0 - 0) = 0$

広義積分は存在し、その値は 0 です。

$\iint_{A_n} \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy = \iint_{A_n} \frac{-\cos2\theta}{r^2}rdrd\theta = \iint \frac{d}{dx}(\frac{x}{x^2+y^2})$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) 広義積分は存在し、その値は 0 です。