関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を $x = -1$ の近くでテイラー展開した結果として正しい選択肢を選ぶ問題です。

## 第2問

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を $x = -1$ の近くでテイラー展開した結果として正しい選択肢を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

テイラー展開は、関数 $f(x)$ をある点 $a$ の周りで展開したもので、次のように表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots$

この問題では、$a = -1$ なので、$x - a = x - (-1) = x + 1$ となります。

まず、$f(x) = \frac{1}{1-x}$ について、いくつかの導関数を計算します。

$f(x) = (1-x)^{-1}$

$f'(x) = (1-x)^{-2}$

$f''(x) = 2(1-x)^{-3}$

$f'''(x) = 6(1-x)^{-4}$

次に、$x = -1$ におけるこれらの導関数の値を計算します。

$f(-1) = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$

$f'(-1) = (1-(-1))^{-2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$

$f''(-1) = 2(1-(-1))^{-3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = \frac{2}{2^3}$

$f'''(-1) = 6(1-(-1))^{-4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = \frac{6}{2^4}$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1/4}{1!}(x+1) + \frac{1/4}{2!}(x+1)^2 + \frac{3/8}{3!}(x+1)^3 + \dots$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2}(x+1) + \frac{1}{2^3}(x+1)^2 + \frac{1}{2^4}(x+1)^3 + \dots$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2}(x+1) + \frac{1}{2^3}(x+1)^2 + \dots + \frac{1}{2^{n+1}}(x+1)^n + \dots$

3. 最終的な答え

したがって、正しい選択肢は2です。

## 第3問

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x$ をマクローリン展開（$x=0$ 周りのテイラー展開）し、$x^2$ の項まで求め、それを使って $e^{0.1}$ の近似値を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、$a=0$ のテイラー展開であるため、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

$f(x) = e^x$ なので、導関数はすべて $e^x$ です。したがって、$f(0) = e^0 = 1$, $f'(0) = e^0 = 1$, $f''(0) = e^0 = 1$ となります。

$x^2$ の項までのマクローリン展開は次のようになります。

$e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2$

$e^{0.1}$ の近似値を求めるには、上記の式に $x = 0.1$ を代入します。

$e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{1}{2}(0.1)^2 = 1 + 0.1 + \frac{1}{2}(0.01) = 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105$

3. 最終的な答え

したがって、$e^{0.1}$ の近似値は1.105 です。正しい選択肢は3です。